學微積分，也學人生

喬弗瑞老師是個很不一樣的高中老師，崇拜自己的學生，對於學生史特格茲能自己設計數學問題並解出來，總是佩服得不得了。之後這對師生持續通信30年，兩人更因此昇華為一生的朋友，而連結這段獨特關係的正是彼此對微積分的熱愛。
 
在他們書信往來30年間，主要是聊數學，慢慢地學生拿到博士學位，成為長春藤大學教授及著名數學普及作家，老師則反過來向他請教解數學微積分題。而兩人生活均發生了極大變化，老師經歷喪子之痛、退休等等；學生也逐漸成熟，結婚、離婚、再婚。對他們來說，微積分不只是數學的分支，也是他們最愛玩的遊戲，更是他們周遭事物持續流動時能維持不變的東西、是他們釋放情緒的出口。
 
本書是他們書信的整理，處處可見含蓄而真誠的情感表露。而彼此對微積分的分享與推演，無論是數學愛好者、老師或學生，都可在信中一窺解題堂奧與樂趣，同時也會因為這本書而更加了解人生。
 

史蒂芬‧史特格茲（Steven Strogatz）
 
美國康乃爾大學應用數學系薛曼講座教授，專長於動態系統理論與複雜網路理論。他同時也是《紐約時報》科學版專欄作家，其所撰寫的數學普及文章十分受到好評與推崇。
 

蔡承志
 
台大物理系畢，英國愛丁堡大學數學博士，目前任教於馬偕醫學院。著有《邏輯學的故事》、《邏輯學入門》（與林照田教授合著）；譯有《語言與真實-語言哲學導論》、《數學馬戲團》等。
 

譯序
 
微積分中的人生意義
 
經典數學教科書《非線性動力學與混沌》（Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering）的作者、同時也是享譽國際的數學家史特格茲（Steven Strogatz），擅長剖析深奧的數學概念，讓天資不如他那麼優秀的研究生在他的導引下也能一窺數學的堂奧，甚至登堂入室。只可惜「非線性動力學」與「混沌」畢竟過於專業，一般讀者無緣由書中領略他的闡述功力。不過，好消息是，讀者手上這本《學微積分，也學人生》書裡，史特格茲把主題限定在現代數學的基礎學科微積分上，而大多數讀者可能已經修過、正在修習或即將要修習這門課。透過史特格茲與其高中微積分老師喬弗瑞先生30餘年來的書信選輯，加上他深入淺出的串場說明，讀者除了能領略到他超凡的解說功力，也可以深刻體會到兩人對微積分所投注的熱情，以及微積分這門美妙學科本身的基礎性、實用性與趣味性。
 
史特格茲和一般微積分科普書的作者很不一樣，他不會刻意選擇一些非常簡單的題材，將它們說得天花亂墜，讓讀者讀完書後自以為功力大增，直到在學校的正式考試中鎩羽而歸，才知道被科普書作者灌了迷湯。史特格茲所做的是，將一些能讓兩位微積分高手（一位知名數學教授和他的微積分老師）感興趣並願意花時間在書信中深入討論的微積分問題，原汁原味地呈現在讀者面前，並邀請讀者與他們一起來思考。譯者個人以為，這樣的做法將會為科普界注入一股向上提升的新動力，讓科普書未來也可以被當成大學課程的補充教材或進階題庫來使用。
 
一般人對微積分常有以下的反應：「我微積分讀得很辛苦，但人生還不是過得好好的，而且我的不少朋友也都有同感。」言下之意是：微積分難，友誼不難，而人生超簡單。但在這一點上，本書作者的認知似乎剛好相反。兩位微積分高手所討論的微積分問題雖然有些難度，但是這些問題大多能在他們一、兩次的書信往返之間就解決；相較之下，兩人的朋友關係則需要他們花上2、30年的時間才從師生關係慢慢發展出來──從一開始純粹討論數學問題，到試探性地詢問及分享近況，以至於最終卸下身分上的防衛，讓對方看見自己的軟弱，並從朋友的角度彼此提供安慰；而在面對書中所提到的生、老、病、死等人生難題時，史特格茲和他的老師更是只能如同激流中的泛舟客，被動地學習隨波起舞，並且試著接受或享受各自的人生。
 
在本書中，史特格茲無意將友誼或人生看成一個微積分問題，去做精確的分析；相反地，他選擇利用微積分中的一些基礎概念（連續、追逐、相對、無理、隨機、無限、極限、混沌、下坡、分歧等）來隱喻或明喻真實的人生。隨著書中微積分問題一個接一個被解決，作者和他恩師人生中的問題也同時一個個被揭開、被碰觸、被撫癒。在作者的坦白與率真的襯脫下，這些類比幾乎就像鏡像般清晰。然而，鏡子兩側畢竟仍是性質截然不同的事物：解開微積分之謎是一種樂趣，但解開人生之謎反而讓人生變得無趣。
 
且讓我們放下心中定見，好好享受一趟兼具理性與感性、既要追根究底又要學習釋然的嶄新閱讀過程。
 

導讀
 
優秀老師示範，偉大老師啟發
 
游森棚（高雄大學應用數學系教授）
 
這本書是當代優秀數學家史蒂芬‧史特格茲整理自他和高中數學老師喬弗瑞30年的通信。藉由書信往來，他們討論了許多有趣的微積分問題。
 
先談數學。平心而論，數學科普書中的數學受限於讀者的接受度， 通常不會太令人驚豔，但這本書不同，非常不同。
 
這些回信中的數學非常有品味。史蒂夫回給老師信並不是敷衍帶過或制式化的解法，他不止把問題解釋得清清楚楚，解釋的方法還常令人眼睛一亮：比如用幾何方法證明 是無理數、由一個無窮等比級數的斂散引入傅立葉級數、導出圓周率的公式、高冪次餘弦函數的積分等等。而喬弗瑞老師也不乏佳作，比如用駱駝證明一個正弦函數自我正交的積分式。
 
但是除了這些數學，這本書中我讀到更多數學之外的感動。
 
這本書讓我感動，因為作者史蒂夫在書中誠實地回顧面對老師的心情轉折。他從身為喬弗瑞老師的學生，一路成為頂尖大學的教授；從學生寫信的問好，成為書信討論的筆友和老師，最後成為朋友。這本書讓我感動，也因為喬弗瑞老師在信中誠實面對他自己的數學能力；在信件中，都是史蒂夫在教喬弗瑞老師，而即使已經教了幾十年的微積分，喬弗瑞老師仍然知道他在數學上不會的東西有很多，但他永遠像一個求知若渴的學生，寫信問著困擾他的有趣問題、分享他的發現。反觀對照國內到處充斥半瓶水的王牌名師，就知道如喬弗瑞老師的謙遜與坦誠有多麼困難。
 
就像韓愈說的，弟子不必不如師，師不必賢於弟子，聞道有先後，術業有專攻。
 
我看到歲月的淘洗與無情。隨著年歲愈高，身體狀況走下坡的喬弗瑞老師更頻於通信，如日中天忙碌的史蒂夫卻愈少回信。我更也看到時間淬鍊後純粹的友情。縱使人生賦予種種試煉，他們卻很少在信中透露個人的憂傷，兩人的通信只討論數學，保持著微妙的距離。這是謹慎的信任，這些信件是情緒的釋放，不知不覺，他們成為彼此的重要他人（significant others）。
 
讀這本書時，我不停地回想起我在建中執教時幾個優秀學生的臉孔。我想起高一開學第一個星期，有個學生問我怎麼算一個三重積分（triple integral），高二另一個學生問我什麼是李代數（Lie Algebra），老實說，當時我真的被嚇到了。
 
這些學生現在不少在名校攻讀博士，有哈佛、麻省理工、加州理工、維吉尼亞、柏克萊、等等等。是的，直到現在我們仍然偶爾通信；我們只是在BBS或Gmail上偶爾丟丟水球，不像書中作者與喬弗瑞老師互通信件討論數學。在各自專業的學術上，他們已經各有一片天空。但如同這本書一樣，我完全體會師生關係可延續昇華為一生的朋友。
 
書中有一幕，喬弗瑞老師獲得教師獎，史蒂夫應邀致詞，講沒兩句就在台上泣不成聲。史蒂夫當時一定還不知道，喬弗瑞老師給了他多大的啟發。這是讓我最感動的一幕，一個老師有這樣的學生，夫復何求？
 
平庸的老師背誦，負責的老師講解，優秀的老師示範，偉大的老師啟發。對教育工作者而言，這真是一句非常好的話。
 

推薦
 
另一種師生情緣
 
張海潮（台大數學系教授）
 
這本書《學微積分，也學人生》是作者史蒂芬‧史特格玆（Steven Strogatz）將他和他的高中老師喬弗瑞（Don Joffray）30幾年來的通信整理而成的。喬弗瑞老師是作者高中的微積分老師，雖然他的微積分程度不是很好，但是熱心教學，願意與學生分享成功或失敗的經驗。他對教學的敬業與忠誠感染了他所教過的每一個學生，作者正是其中之一。
 
從作者轉載的信件看來，大部分時候是喬弗瑞老師向作者提出一個微積分的問題，這些問題通常來自他教學上的需要或是自學時碰到的困難。作者在回信時會幫忙解題並且提出進一步的看法，而喬弗瑞老師總是虛心受教，經常在下一封信中表達由衷的謝意和得到解答的喜悅。
 
這似乎是倒過來的狀況：高中老師向過去的學生請教問題，而學生也不厭其煩地把更精進的學問告訴老師。
 
我在讀這本書時，常常想起小川洋子寫的《博士熱愛的算式》，這兩本書都是從真摯的感情中穿插重要的數學。但是小川的書虛擬的成分較大，不若史特格玆這本書，所有人物都是作者的老師、朋友及親人。此外，本書在書信中討論的問題非常實際，大部分是微積分的經典問題，值得讀者仔細品嚐。
 
由於現行的高中生在高三的時候已經學了微積分，所以高中生和高中老師在閱讀本書時應該會覺得十分親切，即使是不曾學過微積分的讀者，也能感受到喬弗瑞老師活到老學到老的精神，以及作者對老師的大方和體諒。不知道在台灣是不是也能看到這樣的師生關係？
 
國外佳評如潮
 
這本書用一種最不尋常的方式引領我們走過一段數學旅程。
 
--布萊恩‧格林恩（Brian Greene），《優雅的宇宙》作者
 
這是一本充滿心智與勇氣的數學書。
 
--賴利‧齊莫曼（Larry Zimmerman），1986年「總統傑出數學師鐸獎」得主
 
坦率而人性的故事，據實地與讀者分享繫在這層友誼關係上的喜悅與遺憾。而且，從頭到尾貫穿了漂亮的數學應用！
 
--羅倫斯‧布雷登（Lawrence S. Braden），美國數學協會評介
 
這兩個男人透過書信往來、討論數學，找到了更真實、更深刻的友誼，你可能會很訝異自己竟被這強烈的情緒所感動，正如我也是如此。
 
--亞倫艾達（Alan Alda），美國知名演員
 
溫和卻直率的友誼，完完全全吸引了我。
 
--約翰‧克里斯（John Cleese），英國演員
 
老師和學生都會很喜歡這本書，老師重新體會數學教育的長期影響，學生則從這些有趣數學題領略微積分和其他科目的關聯。
 
--《數學老師》期刊
 
我敢說任何人都會因為數學家史特格茲和他高中老師的通信而感動落淚。如果你沒有，請檢查看看你的胸部有沒有心臟，如果有，請確認它並非鐵石心腸。
 
--《Bookslut》
 

追逐（1976）
 
由於我高二就已經修完學校開設的所有數學課，高三那年就沒再上喬弗瑞老師的課，完全靠自己學習。我每天
 
會自己一個人坐在空蕩蕩的教室裡一個小時，閱讀多變數微積分的課本，或是嘗試重新推導出惠更斯Christian
 
Huygens）有關「擺線擺」（cycloidal pendulum）的研究成果。
 
其餘的時間，我選擇從事某種研究。我的研究主題通常和追逐問題有關，這些「追逐問題」（數學家這麼稱呼
 
它）引吸了我全部的注意力。
 
我接觸到的第一個追逐問題，是喬弗瑞老師告訴我們的。那個問題是這麼說的：假設某個郵差嘗試逃離一隻死
 
命追逐他的狗。郵差從原點出發，以等速率v 順著一條直線逃跑，這時候狗從線外的某處以等速率w 追逐那個郵
 
差，牠的行進方向隨時都是對準郵差當時的所在地。請找出這隻狗追逐郵差的軌跡方程式。
 
另外還有一個典型的喬弗瑞問題：有一個人駕著獨木舟，想要划槳渡河到對岸的某一點。這位獨木舟手意志堅
 
定，但腦筋不太靈光，雖然河水一直將他帶往下游，他卻總是直接朝著他的目的地划去。
 

 
假設河水以固定速率v 往下游流，獨木舟手划槳時，獨木舟相對於河水的速率是w 。請找出獨木舟所走的軌跡w 。
 
這兩個追逐問題——「狗與郵差」，以及「意志堅定的獨木舟選手」——都是微分方程的習題，這類方程式所
 
探討的正是微積分的核心問題：「流動」與「改變」。微分方程描述一個系統如何因應不斷改變的外力而改變它的狀態。這些微幅的推與拉，將系統帶至某種新狀態或某個新地點，而那個地點的外力和以前的不盡相同。例如在「狗與郵差」的問題中，郵差不斷在移動，所以狗也必須隨時修正方向來朝向郵差。牠的改變是「即時的」。
 
這是整個微積分背後最震撼人的想法——你考慮瞬間發生的事，或在無限小的時間單元中所發生的事——而你真的能夠處理這個難以言喻的概念，將它轉換成強而有力的描述工具。這裡我們可以寫下一道微分方程來捕捉「對
 
準」的概念，即狗在每一瞬間都在改變牠所面對的方向。而藉由解出這個方程式，可以找出狗該走的軌跡。整條軌跡都是由狗在追逐獵物時所走的無限小步幅建構而成。
 
這種世界觀，即每件事物都可被看成由無限微小的改變累積而成，是微積分最具革命性的洞見。弄清楚如何將
 
這想法轉變成可以操作的數學計算，是一項重大突破，它促使微積分在1600 年代被發明出來。牛頓嘗試計算行星的運動，做法是將行星想像成是受到不斷在改變大小與方向的重力作用。當行星繞著太陽運行時，它們與太陽的距離會改變，進而改變了它們所感受到的引力，這引力接著就導引它們在下一個瞬間到達一個新的位置，而在那裡行星所受的引力又有了些微改變，以此類推。解出行星軌跡方程式的問題，就變成微分方程問題。
 
所以，在探討追逐問題時，感覺上你就像是牛頓志同道合的好朋友；事實上你們也真的志同道合。我就喜歡追
 
逐問題的這個特性。
 
∫∫
 
喬弗瑞老師所拋出的追逐問題很有挑戰性，但是最終都可以被解出來。這種能被馴服的特質，增強了我對「數
 
學正義」的信心。你只需要做以下這些事情：將以文字敘述的問題轉換成正確的方程式、找出適當的代換，以及沉穩地根據邏輯做推導，熬過漫長的代數演算而不出錯，那麼你就可以確定，正確的答案會自動冒出來。它不得不如此。
 
我第一次發覺前面這個天真的想法可能不盡正確，是在我嘗試去解出某個自己設計的問題的時候。這個問題和
 
我過去所解過的追逐問題很類似，但是不知怎地，它非常難以駕馭。我花了好幾個月的時間解它。它折磨我、讓我很有挫折感，卻又引人入勝。我覺得只要下足苦工，自己有把握將問題解出來，而且在幾個月來沮喪的襯托下，這遲來的勝利想必更加甜美。
 
這個問題是這樣的：假設在某個圓形池塘的正中央，有一隻狗看到一隻鴨子繞著圓周在游泳，於是狗開始追逐
 
鴨子，牠游泳的方向隨時都是正對著那隻鴨。換句話說，狗的速度向量隨時都在連接牠與鴨子的直線上。在這同
 
時，鴨子繞著池塘的邊緣游泳，以牠最快的速度逃離那隻狗，行進的方向則保持逆時針。假設牠們都是以等速率游泳，請找出狗所走的軌跡方程式。
 
很顯然，狗會順著某種漩渦狀的軌跡，逐漸逼近鴨子所在的那個圓。但是這條螺旋線的方程式是什麼？
 
那隻被用繩子繫到樹幹上的羊，所走的軌跡是一條愈繞愈靠近樹幹的螺旋線，但這裡我們看到的是一條「向外
 
擴張」的螺旋線，它離圓心愈來愈遠，卻又不會越過外圈的圓形邊界。
 
這是一條非常美妙的路徑。可是我算不出它來。我嘗試過所能想像到的每一種變數變換技巧，甚至把這個問題
 
簡化成一道漂亮的微分方程，看起來應該可以解出來。但是那個方程式我還是解不出來。
 
那時我還不知道，有些數學問題本來就解不出來，不可能找到一個可以明確寫下來的解。以這個題目為例，這
 
隻狗的螺旋線軌跡就沒辦法用一個數學公式來表達，它無法用我們所熟知的基本數學函數來描述。你也可以說，我們目前的語言還不足以讓我們完成這項工作。
 
幾年之後我才明白，這是通則而非特例。就這個意義來說，大部分的微分方程都無法被解出來。我們的公式庫
 
中所收藏的公式還不夠豐富，不足以解決這些微分方程。因此，那少數幾個我們能夠解出來的問題——他們在高中時出給你做的題目——似乎就變得彌足珍貴了。
 

書號：PS037

ISBN：9789573268574

規格：平裝 / 240頁 / 21 × 14.8 × 1.3 cm / 340公克

類別：自然科學類

分類號：310.7

出版社：遠流出版

 

本書分類：自然科普>數學>概論