序文
中文版序
希望年輕人能理解數學之美，
以及我做學問的精神
十多年來，我花了不少時間到世界各地做通俗演講，向聽眾解釋數學的美妙。每次演講完後，總覺得意猶未盡，後來又因為一些機緣，激發我的興趣，想寫一本給一般大眾閱讀的科普書籍。《丘成桐談空間的內在形狀》就是這樣的一本書，是我和納迪斯先生（Steve Nadis）合寫的，寫作過程並不容易，前後花了我們四年的工夫。
2002年，浙江大學數學所開幕，我邀請了一批有國際聲望的數學和物理學家來參加學術會議，包括霍金（Stephen Hawking）、大衛．格羅斯（David Gross）、韋頓（Edward Witten）等名聞遐邇的大師。其中最引人注目的是霍金的演講，當時整個浙江省都哄動起來，有超過三千聽眾在大球場上聽講。後來在北京的國際弦理論大會上，我們決定霍金的演講不收入場費，但要憑入場券入場，沒想到一票難求，黃牛票竟賣到人民幣二百元以上。當時中國國家主席江澤民在中南海接見上述來賓時，很高興的表揚了「霍金熱」，媒體更是一致稱頌。但是有些物理學家並不滿意媒體的報導，認為他們未能好好解釋霍金在科學上的成就，大多數人無從瞭解霍金這位物理大師的為人和學問。
當年，國際數學家大會（ICM）也在北京舉行，知名的諾貝爾經濟學獎得主數學家納許也參加了這次大會。我在開會前與他共進晚餐時，談到一本描述他生平的書，以及該書改編的電影（即《美麗境界》〔A Beautiful Mind〕及其同名電影。大陸及香港則譯為《美麗心靈》），納許向我抱怨這本書的作者和電影的編劇，從來沒有跟他交談過，寫出來與演出來的內容許多都跟事實不符。
到了2006年，我在北京再度召開國際弦理論大會，邀請許多物理和數學家與會，當然也邀請了上述2002年訪中的大師。為了減輕大會的經濟負擔，我得到霍金教授的同意，讓他的團隊經過香港一行，但由於人數眾多，香港中文大學無法支應經費，所以我請香港科技大學的鄭紹遠在科大舉辦一場霍金的演講，沒料到香港媒體極為興奮，大肆宣傳。後來在北京的大會上，更有六千多人在人民大會堂參加霍金的演講。當時湖南出版社已經翻譯了霍金教授的暢銷科普書。而在同一段時間，媒體也對當時數學龐卡赫猜想的解決極感興趣，然而無論中國或外國的媒體，都未能把握到這些科學成果的真意，殊為可惜。
這些經驗讓我體認到科普工作的重要性與難度，其中尤以撰寫數學科普書更為困難。大部分數學科普作者太著重描述數學家個人的個性或軼聞，很少能真正觸及數學吸引人之美與內在的真實。許多作者更因為害怕讀者讀不懂，往往將最精彩的地方一筆帶過。甚至明知自己的解釋有誤，但為了讀者容易閱讀，就模模糊糊、將就過去。我很希望能寫出一本數學科普書來矯正這種毛病。
於是，我找了納迪斯來合寫這本書，闡述我在畢業後十五年內的重要工作，並描述我在解決這些問題時所遇到的困難，以及克服問題後的喜悅感受，同時也在字裡行間帶出我與朋友和學生的交誼點滴。
一般來說，數學家很少會寫出自己創作的經驗，再加上我做的研究與物理學密切相關，所以寫這本書時，自己覺得很有意思，希望年輕人或年青學者能理解我做學問的精神。納迪斯的文筆很好，他是一位擅長用通俗語言描述天文學的職業作家，雖然不很懂數學，卻滿懷學習的熱情。這樣的合作伙伴最是難得，因為我需要藉比較簡單的語言，描述深奧的數學內涵。透過納迪斯的領會，總算能將這些想法向大眾表達出來。從美國讀者的反映知道，我們獲得了一定程度的成功。而且如今，納迪斯也成為數學專家了。
猶記得當年解決卡拉比猜想時，我心中的感覺可以用兩句宋詞貼切表達：
落花人獨立
微雨燕雙飛
我希望這本書的中文譯本，能夠將數學家、物理學家這種和大自然融成一體的美妙感覺表現出來。秉仁是我從前的博士生，精通數學，文筆美好。我感謝他與趙學信先生花了這麼多寶貴的時間將這本書翻譯出來，得其神韻，實在不易。
我衷心感謝幫忙我們的人，除了英文序中提到的數學家和物理學家、納迪斯、翁秉仁和趙學信外，我還要感謝遠流出版社和湖南出版社出版這本書的中文譯本。
英文版序
數學，是一場波瀾壯闊的冒險！
大家常說，數學是科學的語言，或至少是物理科學的語言。顯而易見的，想要確切描述物理定律，只能使用數學方程式，無法訴諸日常書寫或口語的文字。但是只把數學當成一門語言，對這個學科全然不公平，因為語言這個字眼讓人有錯誤的印象，以為數學除了挑挑敘述的毛病，並稍微改正之外，就清清楚楚、了無新意。
但這其實誤謬之極。雖然數學家在數千年的歷史過程中，為數學打造了堅實的基礎，但今天的數學仍然興盛與活躍如昔。數學並不是靜止穩定的知識體系，而是充滿活力、不斷在演變中的科學，和其他科學一樣的，每天都有嶄新的洞識與發現。只是，除了解決幾世紀的難題之外，數學的發展鮮少能登上頭條新聞，不像其他科學，經常有發現新基本粒子、新星體，或新抗癌療程等熱門議題。
但是對於能品賞數學真諦的人，數學絕不只是一種語言而已，而是通往真理最確定的道路，是整座物理科學大廈所依憑的堅實磐石。這個學科的力量，並不僅止於解釋或彰顯實在的物理世界，因為對數學家來說，數學就是實在的世界。我們證明的幾何形體與空間，其真實性絕不亞於構成所有物質的基本粒子。不過我們認為數學結構比起大自然的粒子更為基本，因為除了釐清粒子行為之外，數學還能解釋形形色色的日常生活現象，從臉部輪廓到花朵的對稱性等等。面對現實世界的熟悉模式與形體，或許最能令幾何學家興奮的，正是其背後抽象原理的力量與美感。
對我而言，研究數學——尤其是我的專長幾何學，真的就像探險家去探勘未知之地一樣。我仍然清楚記得，當我讀研究所一年級，做為初生之犢的二十歲新手，初接觸到愛因斯坦重力論時，所感受到的震撼與悸動。我非常驚訝重力和曲率這兩個概念，竟可視為一體的兩面，畢竟我在香港的大學時代，早已著迷於曲面的理論。這些形體就這樣沁入胸臆深處，我不清楚原因，卻無法將它們逐出腦海。聽到曲率位於愛因斯坦廣義相對論的核心，不禁讓我期盼某天，也能以某種方式對宇宙知識做出貢獻。
《丘成桐談空間的內在形狀》這本書描述我在數學領域的探索，並特別聚焦於一項協助科學家建立宇宙模型的發現。沒有人能斷言這些模型最終是否正確，但是做為這些模型基礎的幾何理論，卻無疑含蘊著我無從抗拒的美感。
我研究幾何學與偏微分方程，顯然比用非母語的英文寫作更在行，因此寫這樣一本書無疑是一項挑戰。數學方程的清晰與優雅，經常難以用口語表述（甚至有人說這是不可能），這點頗令人覺得挫折，就像沒有任何實景照片，卻嘗試要描述珠穆朗瑪峰，或尼加拉瀑布的壯闊氣勢一樣。
幸運的是，在這方面我獲得了絕佳的臂助。儘管這整個故事是透過我的雙眼，以我的口說來陳述，但我的合作者卻幫我將抽象與深奧的數學，試著轉譯成流利的文字。
當我證明了卡拉比猜想（本書的中心主題）後，我將該篇證明的論文獻給我的父親丘鎮英先生，他是一位教育家與哲學家，教導我抽象思考的力量。現在我將這本書，獻給他與我的母親梁若琳女士，他們兩人深刻影響了我智識上的成長。此外，我特別要感謝我的妻子友雲，她的氣度與容忍，使我在甚為繁忙糾纏的研究與訪問行程中，還有餘裕來寫這本書。另外也感謝我頗以為傲的兩個兒子，丘明誠與丘正熙。
我也要把這本書獻給卡拉比（Eugenio Calabi），他是前述猜想的提出者，我們相識將近四十年。卡拉比是一位很有原創性的數學家，我和他透過某些幾何空間彼此相繫，已逾四分之一世紀，那就是卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifolds），也是本書的主題。Calabi-Yau這個詞自從1984年出現之後，使用者極多，我幾乎都快覺得卡拉比是我的名字了。而如果這真的是我的名字，或至少在公眾的心裡如此，我將引以為榮。
我的研究工作，大部分往來於數學與理論物理交匯的領域。我很少孤立完成這些研究，經常大量地受益於與朋友或同僚的互動。在這許多人裡，我底下將只提到與我直接合作，或曾予我啟發的少數人。
首先，我要感謝我的老師與長輩們，這一長串名單包括陳省身、莫瑞（Charles Morrey）、勞森（Blaine Lawson）、辛格（Isadore Singer）、尼倫柏格（Louis Nirenberg），以及卡拉比。我也很感謝1973年時，辛格在一次史丹福大學的學術會議邀請葛洛克（Robert Geroch）來演講，這促成我和孫理察（Richard Schoen）在正質量猜想方向的研究工作。我後續與物理相關的數學研究，辛格都經常予我鼓勵。
我感謝在訪問劍橋大學時，和霍金與吉朋士（Gary Gibbons）討論相對論的談話。我的量子場論是從這個領域的大師大衛．格羅斯學來的。記得1981年當我還是高等研究院的研究員時，戴森（Freeman Dyson）帶了一位新任物理組研究員到我辦公室，這位剛到普林斯頓的新人就是韋頓，他告訴我他有一個簡潔的正質量猜想的證明，這個結果我和孫理察已經用非常不同的方法證明過了。我非常驚訝於韋頓的數學能力，而且這絕非唯一的一次。
在這段研究歲月裡，我十分享受和一些人的緊密合作，除了前述的孫理察，還有鄭紹遠、漢米爾頓（Richard Hamilton）、李偉光、密克斯（William Meeks）、賽門（Leon Simon），以及烏蘭貝克（Karen Uhlenbeck）。其他以各種方式參與這段旅程的朋友，還包括多納森（Simon Donaldson）、羅勃．格林恩（Robert Greene）、奧瑟曼（Robert Osserman）、楊宏風（Duong Hong Phong），以及伍鴻熙。
我覺得自己很幸運，過去20餘年能在哈佛大學研究講學，這是能讓數學和物理產生互動的理想環境。在這段期間，我從與哈佛數學系同事的交談中，獲得許多數學上的看法，其中包括伯恩斯坦（Joseph Bernstein）、艾爾基斯（Noam Elkies）、蓋茨郭利（Dennis Gaitsgory）、迪克．格羅斯（Dick Gross）、哈里斯（Joe Harris）、廣中平祐（Heisuke Hironaka）、傑菲（Arthur Jaffe，他也是物理學家）、卡茲當（David Kazdhan）、克農海默（Peter Kronheimer）、梅哲（Barry Mazur）、馬克穆藍（Curtis McMullen）、曼弗德（David Mumford）、史密德（Wilfried Schmid）、蕭蔭堂、史滕伯格（Shlomo Sternberg）、泰特（John Tate）、陶布思（Cliff Taubes）、泰勒（Richard Taylor）、姚鴻澤，以及2005年過世的波特（Raoul Bott）與馬凱（George Mackey）。當然，我與麻省理工學院數學系的教授們也有許多值得回憶的交談。另外在物理方面，我和史聰閔格（Andrew Strominger）與瓦法（Cumrun Vafa）則有著數不盡的豐饒對話。
在過去十年，我曾經兩度榮任哥倫比亞大學的愛林伯格訪問教授，和數學系的教授有許多令人興奮的討論，尤其是哥費德（Dorian Goldfeld）、漢米爾頓、楊宏風以及張壽武。我也曾任加州理工學院的費爾柴客座教授與莫爾客座教授，從索恩（Kip Thorne）和史瓦茲（John Schwarz）那裡學得許多物理知識。
在過去二十餘年，我曾獲得美國政府的大力補助（透過國科會、能源部以及國防高等計畫局）。我大部分的博士後研究人員都是物理博士，這在數學領域中殊屬異類。但這樣的安排讓雙方都受益，他們跟我學數學，我則從他們身上學到一些物理。我很高興許多這些有物理背景的博士後，日後成為大學數學系的傑出教授，包括布朗戴斯大學、哥倫比亞大學、西北大學、牛津大學、東京大學等。我的一些博士後在卡拉比-丘流形上有重要貢獻，其中許多人協助完成這本書，包括愛梭耳（Mboyo Esole）、布萊恩．格林恩（Brian Greene）、赫羅維茲（Gary Horowitz）、細野忍（Shinobu Hosono）、賀布胥（Tristan Hubsch）、克雷姆（Albrecht Klemm）、連文豪、史巴克斯（James Sparks）、曾立生、山口哲（Satoshi Yamaguchi），以及札斯洛（Eric Zaslow）。最後，我之前的一些研究生也在這個領域裡有傑出的貢獻，包括來自大陸的李駿、劉克峰，以及來自台灣的王慕道、王金龍、劉秋菊，其中一些成就將在書中敘述。
丘成桐，麻省劍橋，2010年3月
人的運氣就是這樣，當初如果不是康乃爾大學的物理學家戴自海（Henry Tye，丘成桐的朋友）介紹，我根本不可能知道這個著作計畫。他當時給我建議，說我未來的合著者或許能指點我一兩個有趣的故事。戴自海說得對，他一向都對。我很感謝他，讓我踏上這段意料之外的旅程，並且在沿途許多岔口提供協助。
就像丘成桐經常說的，在數學上選定一條路，根本無法預料最後會通往哪裡。其實寫書也一樣，當我們第一次見面時，就十分同意要合寫一本書，然後花了很長一段時間，才確定這本書的主題。就某種意義而言，你也可以說，直到這本書完成了，我們才真正知道這本書的主旨。
對於這項合作的結晶，我想先說明幾點，以免造成閱讀時的混淆。我的合作者是一位數學家，他的研究和本書的多數故事緊密相關，書中凡是他身為主要參與者的章節，經常採用第一人稱行文，其中的「我」指的一定是丘成桐。不過儘管這本書相當程度涉及個人敘事，卻不適合歸類成丘成桐的自傳或傳記。因為書中討論所牽涉的人物，他並不全認識，有些人更早在他出生前就已過世。而且本書有些描述的主要內容，例如實驗物理與宇宙學，也超出他的專業領域，在這樣的章節，我採用的多半是第三人稱觀點，內容的來源大部分是訪談，以及我曾做過的一些資料研究。
本書稱得上是一項特殊的產物，結合了我們不同的背景與觀點。最好的合作方式，似乎就是說出一個雙方都認為值得一談的故事。而將故事落實成書的工作，相當依賴於我的合作者對數字的非凡掌握，同時希望我的文字能力也能不辱使命。
關於本書是否應該視為一本自傳，還有一點要談。雖然本書的確繞著丘成桐的研究打轉，我仍然要提醒讀者，本書的主角並不是丘成桐自己，而是他參與發明的幾何空間，也就是卡拉比-丘流形。
廣泛來說，本書的主旨是如何透過幾何學理解宇宙。上世紀以幾何學描述重力而獲得驚人成功的廣義相對論，即是此中典範。弦論則是另一個更具野心、走得更深遠的嘗試，不但幾何學活躍其中，六維的卡拉比-丘流形尤其佔有特定的地位。本書試圖呈現一些幾何與物理的必要概念，以理解卡拉比-丘流形的淵源，以及數學家和物理學家認為這些流形重要的原因。本書將聚焦於這類流形的不同面向：做為定義的特色、導致發現的數學理論、弦論學者迷上它的理由，以及這些形體是否真的掌握了通往我們的宇宙（乃至於其他宇宙）的鑰匙。
至少，這就是《丘成桐談空間的內在形狀》這本書想要闡述的，至於是否真的達成這項使命，只能由讀者來決定。
但我心中很明白，如果沒有許多人提供專業、編輯，或者情感上的支持，這本書絕對無法完成。這份名單實在太長了，恐怕不可能全部列出來，不過我會盡量試試。
丘成桐前述名單中的人物，提供我許多的協助。其中包括卡拉比、多納森、布萊恩．格林恩、賀布胥、史聰閔格、瓦法、韋頓，以及最重要的羅勃．格林恩、連文豪、曾立生。後面三位朋友在寫作過程裡，教導我相關的數學和物理課程，他們精闢的解說與非凡的耐性，讓我由衷感激。尤其是羅勃．格林恩，他在百忙中仍然一週數天，引領我穿越微分幾何的荊棘道路。沒有他，我早不知道溺斃幾回了。連文豪幫我踏上思考幾何分析的起點；在我們改不勝改的書稿定稿的最後時刻，曾立生提供了大量的協助。
物理學家Allan Adams, Chris Beasley, Shamit Kachru, Liam McAllister和Burt Ovrut 常得不分晝夜的為我解答問題，引導我渡過許多思考瓶頸。其他慷慨撥冗相助的還有Paul Aspinwall, Melanie Becker, Lydia Bieri, Volker Braun, David Cox, Frederik Denef, Robbert Dijkgraaf, Ron Donagi, Mike Douglas, Steve Giddings, Mark Gross, Arthur Hebecker, Petr Horava, Matt Kleban, Igor Klebanov, Albion Lawrence, Andrei Linde, Juan Maldacena, Dave Morrison, Lubos Motl, Hirosi Ooguri, Tony Pantev, Ronen Plesser, Joe Polchinski, （蕭文禮）Gary Shiu, Aaron Simons, Raman Sundrum, Wati Taylor, Bret Underwood, Deane Yang 和尹希（Xi Yin）。
以上所舉還只是一小部分，除此之外，協助我的還有Eric Adelberger, Saleem Ali, Bruce Allen, Nima Arkani-Hamed, Michael Atiyah, John Baez, Thomas Banchoff, Katrin Becker, George Bergman, Vincent Bouchard, Philip Candelas, John Coates, Andrea Cross, Lance Dixon, David Durlach, Dirk Ferus, Felix Finster, Dan Freed, Ben Freivogel, Andrew Frey, Andreas Gathmann, Doron Gepner, Robert Geroch, Susan Gilbert, Cameron Gordon, Michael Green, Paul Green, Arthur Greenspoon, Marcus Grisaru, Dick Gross, Monica Guica, Sergei Gukov, Alan Guth, Robert S. Harris, Matt Headrick, Jonathan Heckman, Dan Hooper, Gary Horowitz, Stanislaw Janeczko, （季理真）Lizhen Ji, Sheldon Katz, Steve Kleiman, Max Kreuzer, Peter Kronheimer, Mary Levin, Avi Loeb,（羅鋒）Feng Luo, Erwin Lutwak, Joe Lykken, Barry Mazur, William McCallum, John McGreevy, Stephen Miller, Cliff Moore, Steve Nahn, Gail Oskin, Rahul Pandharipande, Joaquin Perez, Roger Penrose, Miles Reid, Nicolai Reshetikhin, Kirill Saraikin, Karen Schaffner, Michael Schulz, John Schwarz, Ashoke Sen, Kris Snibbe, Paul Shellard, Eva Silverstein, Joel Smoller, Steve Strogatz, Leonard Susskind, Yan Soibelman, Erik Swanson, Max Tegmark, Ravi Vakil, Fernando Rodriguez Villegas, Dwight Vincent, Dan Waldram, Devin Walker, Brian Wecht, Toby Wiseman, （吳建福）Jeff Wu, （楊振寧）Chen Ning Yang, Donald Zeyl 等人。
本書中的許多概念是很難描繪的，我們很幸運能得到石溪大學計算機科學系Xiaotian （Tim） Yin 和 Xianfeng （David） Gu卓越的電腦繪圖能力，而他們又得到Huayong Li 和 Wei Zeng的協助。繪圖方面大力幫忙的還有Andrew Hanson （卡拉比-丘流形最重要的視覺呈現者），John Oprea和 Richard Palais等人。
我要感謝我的親友，包括Will Blanchard, John De Lancey, Ross Eatman, Evan Hadingham, Harris McCarter和John Tibbetts，他們或者讀過本書的撰述計畫、章節草稿，或者在寫作過程中提供建議和鼓勵。
此外，丘成桐和我還要感謝Maureen Armstrong, Lily Chan, Hao Xu 和Gena Bursan等人寶貴的行政支援。
有幾本書提供了很有價值的參考，其中包括布萊恩．格林恩的《優雅的宇宙》（The Elegant Universe）、曼羅迪諾（Leonard Mlodinow）的《歐幾里得之窗》（Euclid’s Window）、奧瑟曼的《宇宙的詩篇》（Poetry of the Universe）以及薩斯金的《宇宙的地景》（The Cosmic Landscape）。
而若不是有Brockman, Inc.文學經紀公司的John Brockman, Katinka Matson, Michael Healey, Max Brockman 和Russell Weinberger等人的大力協助，《丘成桐談空間的內在形狀》根本不可能成書。Basic Books 的T. J. Kelleher對我們書稿一直抱持信心，還有他與同事Whitney Casser努力讓書能夠成形付梓。Basic Books的專案編輯Kay Mariea指揮了從草稿到出版的各個階段，還有Patricia Boyd精湛的文字編輯造詣，使我明白「the same」 和「exactly the same」 原來是完全同義的語詞。
最後，我特別要感謝我家人的支持——Melissa, Juliet和Pauline，以及我的雙親Lorraine 和Marty，我的兄弟Fred和姊妹Sue。他們猶如六維卡拉比-丘流形，是世上最迷人之物，但卻不自知這些流形其實超出塵世之外。
納迪斯，麻省劍橋，2010年3月
譯後序
對曲撫弦好時光
翁秉仁
1985年7月，我提前一個月出國留學。當時台灣的戒嚴體制，不允許無端提早出國的時間，必須另案特別申請。感謝數學系的師長奔走，我才能如願搭上華航的班機。還記得飛機斜仰衝入雲層時，機身搖晃顫抖，當時心中忐忑，不知是興奮還是惶恐，是因為跨出這個囚鎖的島國？即將迎接未知的異國生活？抑或只是單純的生理恐慌。
我之所以提前出國，是因為要參加加州大學聖地牙哥分校的一個數學「夏令營」，主辦人是丘成桐先生，他在1983年剛獲得數學界的諾貝爾獎——費爾茲獎，日後成為我的論文指導老師。這個數學營的對象是全球的華人數學家與學生，所以與我同行的還有許多台灣的師長或同輩，一個月同炊同宿同遊的日子，以及與「共匪」初遇交誼的經過，留下了許多特別的回憶。
在營隊中，除了白天有沙灘排球、晚上看電影（記得是鄭紹遠帶來了《小城之春》），我們要閱讀、報告、討論，營中還有許多一流數學家的演講。當時多納森的四維拓樸工作出爐不久，再配合也在聖地牙哥的弗利德曼的龐卡赫猜想的結果，整個四維流形的研究有了根本的突破（這兩位數學家在隔年也都獲得最高榮譽的費爾茲獎），整個營隊的氣氛十分熱烈高昂。就這樣，我以一個學子身分，見證了一個數學時代的開始，隨後幾年一直處於數學研究的核心圈之一，讓我真真正正體會到，什麼是知識的演進、時代的推移。
在聖地牙哥的兩年（中間有半年在德州奧斯丁）只下了一場小雨，每日都是陽光藍天，天氣怡和，漢米爾頓經常跟我們炫耀衝浪的故事；弗利德曼喜歡攀岩，還攀爬系館給大家看；孫理察則是排球健將，殺起球來虎虎生風；相較下來，丘先生雖然喜歡跟大家打球，球技就沒有數學那麼厲害。
不過我們的生活絕不能用悠閒來形容，事實上，丘先生的學生一貫要參加許多研討班與演講（這點到現在似乎也沒有改變），每天學習行程滿檔，密度之大，蔚為奇談，引人側目。當時系上的師生，謠傳我們這個「幫派」整天用廣東話輪流報告，天曉得丘先生擔心我們日後的教學，嚴格要求我們用英文演說，只是大家的英文不標準罷了（奇怪的是，我們彼此卻都聽得懂）。記得當時，丘先生鼻炎嚴重，經常在大小演講的中途睡去，到快結束前才醒來，而且還隨即開始問問題，妙的是，他問的都是關鍵問題，比醒著的我們還準確。他這個嗜睡的毛病，幸好在奧斯丁時開刀後，就沒再看到了。
由於丘先生的眼界開闊，給學生們的問題方向頗有差異，因此我們在研討班報告的範圍也很廣，刺激著彼此學習不同的領域，內容多是當時的重要研究，許多還是炙手可熱的預印稿。不過丘先生總是很忙，學生的研討班不見得能全程參與，出訪的時候更是同學鬆一口氣的時候。事實上，他並不像一般博士班指導老師，有指導學生的固定時間。倒不是他有意冷淡對待學生，而是因為他的訪客，不論是在美國西岸或後來的東岸，總是絡繹於途，因此學生只能各憑本事找他的空檔。不過，別看他事務繁忙，對數學的專注力卻十分驚人，幾乎不擇時地皆可思考，無論是聊天、走路、開車，幾乎任何時候，總是可以忽而從塵世俗事脫身，繼續在超然的數學話題上侃侃而談。
但是丘先生似乎不認為自己是天才，至少不覺得天才是一個好數學家的決定性因素。所以他並不特別認為數學家異於常人，也不十分熱中於奧林匹亞之類的數學競賽。他從自己的成長體驗，更在乎學生是否有專注的毅力、辛勤的工作態度，以及熱愛數學的襟懷。也因此，雖然他有時看起來嚴肅，卻又常帶著童心好奇的天真。
丘先生是一位很有行動力的人，如果說他是二十世紀最重要的華人數學家，有一部分原因出自他自始至終關心華人數學的地位與提升，並付出比其他海外華人數學家更多的努力。前述我們所參加的夏令營，正是他年輕時（當時他才36歲）就開始提高華人參與主流數學的努力嘗試。丘先生的華人學生一向很多，與我同期大概有十人之多，他帶著我們由加州、德州到麻州，中間顯然遇到許多行政上的挑戰，但他都一一為我們克服。
後來，他更是積極來往於香港、台灣與大陸，說服學界、商界與政界人士，支持華人數學的發展。目前他在兩岸三地協助成立了許多數學研究中心，完全義務，並不支薪。1998年起，他更積極推動華人數學家大會（ICCM），積極提攜華人數學家，鼓勵他們奉獻於數學的大業。
我經常聽到有人批評丘先生「霸氣」，不過學術界本非無塵脫俗的世界，自有現實的歷史宥限與學術政治，西方世界主導數學界幾百年，隱約總能聞出偏執、惡見、藏私、壟斷、保護的氣味。想要在現代數學界的中心位置殺出生路，衛護並推升華人數學的成就，卻唯獨這個霸氣不可少。他的種種臧否批評，不論是出自熱情或義憤，背後總有著清楚嚴謹的理路。
丘先生的行動力，也促成了這本書。
幾年前，丘先生告訴我他想寫一本數學科普書，問問我的意見。以科普書向大眾普及科學知識的重要性，盡人皆知，但是科普書不好寫，數學科普書更難寫，也是內行人都了然的難關。依照霍金開玩笑的講法，寫科普書每多一個公式，銷量就會掉一半，但是寫數學科普書若不寫出算式，卻經常讓識者覺得空洞，反而讓一般讀者學些似是而非的概念，不然就只是一些歷史故事、數學家軼事，甚或八卦。
但是丘先生肯定寫科普書的重要性，不但想寫，而且希望能兼顧這兩個近乎不能相容的困難（見本書丘先生的兩序），由於丘先生本身是個大忙人，我無法想像他如何能抽空完成這件事，當時我的意見恐怕還是遲疑居多。沒想到四年之後，丘先生竟然真的將書「變」到我們的眼前；從本書內容的廣度與深度，這中間的辛苦顯然不足為外人道矣，但丘先生還是憑他的毅力完成了。
在這段期間前後，丘先生也開始大力推動數學的普及化，他經常在各地做通俗性的數學演講，不但直言數學結構之美，深談數學與人文之聯繫，也談及數學教育的重要性，抨擊華人數學教育的疏失，這些演講散見於網路，日後勢將編輯成書。同時，他也在大陸推動《數學與數學人》、《數學與人文》兩叢書（應該算是雜誌）。
最驚人的是，當我們譯完本書正在收尾時，丘先生又突然寄給我另一本將要出版的新書《哈佛數學150年》（A History in Sum: 150 Years of Mathematics at Harvard (1825-1975)，哈佛大學出版社）。他再一次不媚俗的選擇了他認為重要的課題，這一次他希望讀者（尤其是華人讀者）能夠以哈佛大學為案，理解美國如何從數學的不毛之地，走向數學的繁華之都。希望以此展示，何謂數學教育的應然方向，乃至高等教育該如何健全發展。希望我們能體認，高等教育必須以第一等研究為主要目標。
至於我想翻譯這本書，倒不是因為丘先生是我的老師，雖然這層關係在溝通譯文上多了便利與信任，但他自始至終可都沒有擺出什麼老師的架子。想要翻譯，一方面是丘先生以世界一流數學家之姿，卻花費四年來完成一本數學科普書，其中的風範與熱情固然令人動容；同時正因如此，我猜讀者也會十分好奇，他想談論的主題內容的獨特性與重要性。
簡而言之，本書的主旨是要以數學家的觀點，來談論弦論十維空間中的六維內在空間，這個空間基本上是所謂的卡拉比-丘空間，其中丘就是丘成桐，這是他證明了卡拉比猜想而確立的幾何空間，他也因此榮獲費爾茲獎。而由於書中深入談到他證明這個猜想以及日後應用的過程，因此從某種角度，也可以看成丘先生的半傳記。
底下我先簡單介紹一下全書的梗概。本書大致上可以第六和第七章為界，大略分成前後兩部分（扣掉最前面的介紹，與最後面的總結章節）。第一部分鋪陳閱讀這本書的數學背景，順便鳥瞰當代的幾何學。第二部分則強調如何將卡拉比-丘流形運用到弦論中。
在第一章開宗明義、大致介紹隱藏或內在空間的想法之後，第二章簡短追溯幾何學的歷史源流，也順便釐清一些幾何概念；然後作者在第三章介紹了今日幾何學的新工具——幾何分析學的發展，尤其介紹了到目前為止的三大成就之二：四維拓樸和龐卡赫猜想；由於第三項成就——卡拉比猜想是本書的主題，因此分成第四、五兩章，依序介紹卡拉比猜想的意義，以及丘先生證明猜想的過程。
在第一部分與第二部分之間的六、七兩章，基本上可以看成數學和物理的邊界。作者首先在第六章介紹弦論兩次革命的發展，並解釋本書主角卡拉比-丘流形在弦論中的理論重要性；第七章則反之，指出弦論或物理學的思考如何帶給數學研究上豐富的深遠影響，尤其是鏡對稱。
第二部分始於第八章。在本章作者給出例子，說明弦論學者如何巧妙的建立了卡拉比-丘流形與黑洞資訊悖論間的關聯。第九章則說明如何透過卡拉比-丘流形，從弦論回歸到標準模型，試圖重建基本粒子的各種性質。第十章淺談內在空間的其他可能性，以及卡拉比-丘流形在其中扮演的關鍵角色。第十一章談到由於宇宙終將去緊緻化所導致的宇宙末日想像。第十二章則回到內在空間觀測證據的問題，論析目前藉由天文觀測或加速器所能提供的證據可能性。
最後兩章則是總結性的反思，第十三章談論數學和物理的辯證發展關係，以及弦論對數學的意義。第十四章則為了調和廣義相對論與量子力學預設的不同空間觀點，探討未來幾何學的可能發展方向。
另外，丘先生在全書「序曲」與「終曲」裡，以柏拉圖的「幾何化」構想為主軸，暢談了本書的數學思想主題，構成一個美好的循環。
就科普書而言，這本書的確比較深入而有一定難度。主要的原因在於丘先生撰寫這本書的使命與信念：深入淺出的讓大眾能更深入知道弦論的理論內涵。由於許多概念牽涉到數學的實質進展，自然涵蓋了概念累積的深度（這也許是數學和其他科學相異的特色）。筆者在本書的〈附錄1〉整理了一個關於幾何中「空間」、「維度」、「曲率」等概念的說明，希望能幫忙讀者降低一些閱讀的難度。
相對於其他的數學科普書，我覺得這本書有三個特色，值得我將它翻譯出來：
首先，這本書至少有三分之一的篇幅討論現代幾何學的發展。一般科普書如果是純粹探討幾何學，多半只沿著歷史發展談到非歐幾何。如果還要再涉及廣義相對論，則會再討論一些比較延伸的幾何概念，但多半就開始避重就輕，讓材料用一種暗喻類比的方式來進行。幾何學家奧瑟曼的《宇宙的詩篇》已經是最努力的嘗試，但我個人覺得仍然稍嫌不足。不然就算是討論解決龐卡赫猜想這種熱門話題的科普書，也都只能出偏鋒，繞著外部的歷史、心理、八卦兜圈圈，讀者完全無法讀到正面的材料。
這個困難主要是來自數學概念的累積性，不但需要讀者一定的閱讀專注，也需要作者能正確掌握手上的材料，舉重若輕，入其環中。否則，數學的科普書真的只能永遠停步在國高中時期的數學概念。
結果，丘先生這本書光是談及幾何分析學的三大成就，就涉及到1980年之後好幾個費爾茲獎得主的研究工作。這無疑是困難的挑戰，但丘先生身為幾何分析學的大宗師，對於材料的選取、關鍵的解說，都無疑有著權威性的準確度與品味。我想這不只讓年輕的學子有一窺堂奧的機會，即使對於不同領域的數學家，這一部分的閱讀應該也有著相當的吸引力。
其次，雖然談論弦論的科普書籍已有很多，但這一本卻非常不一樣，足以和格林恩的暢銷鉅作《優雅的宇宙》分庭抗禮，而且就某種角度是更有勝之。當然這和作者兩人數學家和物理學家的不同背景有很大的關係。
就介紹弦論的物理背景而言，《優雅的宇宙》無疑是一本傑出的物理科普著作，格林恩深入淺出的說明，許多都頗有新意。但是我想許多讀者讀完後，可能還是感覺隔了一層，有種知其然不知其所以然的感受。理論物理學的種種迷人巧思，無疑是當代科普市場的重要賣點，但一旦牽涉到「所以然」的骨幹——數學，一般作者還是盡量迴避。其中的重要原因除了市場考量，也是因為這些多半是物理學家的作者，對箇中的數學無法做最核心、最關鍵、最對味的掌握，因此無法像講解物理概念那樣，遊刃有餘的經營手中的材料，《優雅的宇宙》雖然做了一些努力，但感覺並不很成功，反而有種懸在半空中的尷尬。
丘先生這本書由於作者出發點不同、背景不同，正好補足了這長久以來的缺憾。倒不是說這本書通篇都是數學方程式，恰恰相反，這本書的數學算式非常節制，但是作者並不迴避理解弦論時所需要的重要數學概念，簡化、比喻、類推皆有之，需要讀者投入想像力與思考力，但絕無馬虎、欺瞞、慢待讀者之處。一位有感的讀者，必然能從本書的閱讀，對弦論的成就有了提升一層的理解。
當然，在一本科普書裡，絕對的精確描述是絕無可能也毫無必要的。今天許多對於弦論或當今理論物理學有興趣的年輕學子，最困惑的是不知該學哪些數學，而面對這些數學符號的重重關卡，又往往不知重點何在。許多物理或數學的老師受限於自己所學的限制，往往不能給出恰當的建議。丘先生這本書在這方面頗有振聾發聵的幫助，不但完整提到所需的數學概念架構，而且直入核心的還原了這些概念背後的重要數學與物理意義。
第三個特色，則和這本書的半自傳色彩有關。
在大眾的心裡，數學有著真理的形象，是超然於眾學科之上或之外的另一種學科，連帶著，數學家似乎個個像是遺世獨立、不食人間煙火的天才高人。但丘先生這本書多少打破了這樣的假象，讓數學做為人類狀況、文化與事功的一環能夠顯現出來。這得歸功於丘先生願意介入他的書，不諱言自己的感受。他不諱言研究路途的折磨艱辛的痛苦、柳暗花明的喜悅，有與朋友討論分享的歡快，也有學術爭執的無奈。
藉由他的介入，丘先生也分享了建立理論的動態層次。對於一般愛智的讀者，這本書提供一個十分有吸引力的角度，讓我們跨過科普知識的櫥窗，一窺理論內核心概念的成形與演進的過程。
事實上，這本書有著科學哲學（或數學哲學）的意義。一般非數學家或非主流數學家的科學哲學論著，往往讀起來有點意識型態化，以自己妙得的一二見解，落入執著或黨同的立場。但丘先生以他處於最核心的科學領導者的立場，娓娓道來的，反而讓我們見識到對於靈光妙想和理性證據的嚴格分際，奇妙融合了彈性與嚴謹，也見到對未知的開放與坦然。
弦論在科學哲學上的重要意義，是讓我們見識到幾何學如何涉入大自然結構，以及物理學回饋數學的深度，看丘先生在序曲、終曲與最後兩章中品評這段過程，反省數學和物理學間的關係時，他為愛好思考的讀者提供了許多更值得深思的觀點，甚至也彰顯了數學的詩情。
最後，其實翻譯本書，還有著比較私人的理由。書中討論到的許多發展，與我留學的時光或有重疊，譯書時隨著書中提到的人事，許多生命的青春回憶也漸次浮現。當時的同學，如今有些是一方學術大名，有些卻已轉行失去聯繫。但是那些聖地牙哥、奧斯丁、波士頓的瑣事點滴；橫越美國的公路之旅；兩岸政治事件發生時（尤其是六四），同學朋友徬徨焦慮的眼神，許多景象留在腦海裡，反而愈久愈清晰。
譯這本書，我想獻給共度這段時光的所有人。
———關於翻譯的一點補充說明———
一、首先要感謝丘先生，由於他的著眼點是在不失真的前提下，讓書更易於閱讀，因此為了華文讀者的習慣，他允許我們可以更動敘述、甚至挪動段落。雖然這種修改並不多，但確實存在，因此希望對照閱讀英漢版的認真讀者，不要以為是誤譯，也希望我們的修改能更切中丘先生著述的要旨。
二、根據原精裝版作者已發現的錯誤，以及我們另外查對出的錯誤（已提供給英文平裝版修改參考），這個譯本已經做了整體的修正，因此是一個更正確的版本。
三、除了丘先生和遠流出版社團隊之外，在翻譯上我們還得到一些人的協助。在正質量猜想的部分，我要特別感謝和王慕道的討論，他和丘先生2011年全年度正好都在台灣大學訪問。感謝劉月琴和洪瑛幫我「決定」了楊宏風的中文姓名，劉月琴是楊的夫人，她和洪瑛都是羅格斯大學的統計學教授。另外，也感謝曾立生和蕭文禮的協助，並謝謝他們的鼓勵。
四、全書雖然由趙學信和我分譯前後部分，但最後都互相細讀討論過，因此是名符其實的合譯。最後定稿時，也很感謝遠流吳程遠的費心討論。
五、原書附註列於全書之後，號碼標於內文中。譯註的部分主要由我來執筆，置於當頁下方。
六、英文姓氏相同時，我們譯成一樣的中文，用完整的名字加上姓氏來區分，在無混淆之慮時，我們在局部首次出現時用完整姓名，隨後仍只使用姓氏，以收簡潔之效。
七、無理解或釐清之必要時，不增加譯註。
